吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测（一模）试题理一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合的元素个数有A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数是A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数3.在中,是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A.10%B.50%C.60%D.90%5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小,水流的速度的大小,设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处,则等于A.B.C.D.6.已知函数则函数在上的大致图象为河流两岸示意图AB1v2vyyyyABCD7.将长、宽分别为和的长方形沿对角线折起,得到四面体,则四面体的外接球体积为A.B.C.D.2/128.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为A.B.C.D.9.对于函数下列结论中正确的是为奇函数在定义域上是单调递减函数的图象关于点对称在区间上存在零点10.如图,在面积为1的正方形内做四边形使以此类推,在四边形内再做四边形……，记四边形的面积为，则1C1D1A1B2A2B2C2D3A3B3C3D11.双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为12.已知偶函数满足当时则的值为二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若则.14.若复数满足则.15.如图,一块边长的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,把容器的容积(单位:)表示为(单位:)的函数为.16.已知是数列的前项和,满足,则;数列的前项和.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,⊥底面,,为的中点,为线段上的动点.10x5(I)求证:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(I)求角;(Ⅱ)若,求.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户.(I)若将频率视为概率,求至少有两户购买量在单位:)的概率;(Ⅱ)若抽取的5户中购买量在单位:)的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在单位:)的户数为ξ,求ξ的分布列和期望.20.(12分)已知椭圆,直线分别与轴轴交于两点,与椭圆交于两点.(I)若求直线的方程;PABCDEF123456购买量/kg0.300.250.200.150.10频率/组距(Ⅱ)若点的坐标为求面积的最大值.21.(12分)设函数.(I)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求证:(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线与圆相交于两点,求23.[选修4-5不等式选讲](10分)已知(I)求证:;(Ⅱ)求证:.长春市2021届高三质量监测数学(理科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.B.【解题思路】所以故选B.2.D【解想思路】故且为偶函数,故选D3．C【解题思路】易知在三角形中，是的充要条件,故选C4.D【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D5．B【解题思路】由题意知有所以选B.6．A【解题思路】由可得的图象关于直线对称,排除BC,当时排除D...
