第3讲数列的综合问题专题强化训练1．(2019·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：an≥()n－1.解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥()1－1＝1，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥()k－1，因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，所以ak＋1＝2ak－≥2()k－1－＝()k＋()k－＝()k＋＝()k＋，因为k≥1，所以2×()k－3≥2×－3＝0，所以ak＋1≥()k，即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．2．(2019·嘉兴调研)已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈(0，2)，a＋3an＋2＝6Sn.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．解：(1)当n＝1时，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6a1，即a－3a1＋2＝0.又a1∈(0，2)，解得a1＝1.由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1.两式相减，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.由于an＞0，可得an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由an＝3n－2，可得bn＝＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.因为Tn＝＝－随着n的增大而增大，所以数列{Tn}是递增数列，所以t≤4Tn⇔≤Tn⇔≤T1＝⇔t≤1，所以实数t的最大值是1.3．(2019·金华模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1an＝2an＋1－1(n∈N*)，令bn＝an－1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求证：c1＋c2＋…＋cn7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．解：(1)由f1(－1)＝－a1＝－1得a1＝1，由f2(－1)＝－a1＋a2＝2，得a2＝3，又因为f3(－1)＝－a1＋a2－a3＝－3，所以a3＝5.(2)由题意得：fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n，fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n－1an－1＝(－1)n－1·(n－1)，n≥2，两式相减得：(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n－1·(n－1)＝(－1)n(2n－1)...
