高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式自我小测 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.4.1柯西不等式自我小测1函数y＝＋2的最大值是________．2设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．3设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是________．4已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是________．5n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是________．6若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点．7设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：(a1－an＋1)≥n2.8设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.9设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．10已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：(a＋b)2≤＋.11已知函数f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋(a，b，c∈R)的最小值为m，若a－b＋2c＝3，求m的最小值．1参考答案1．解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.当且仅当＝2.即x＝时等号成立．2．4解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z.由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数k＝±，使b＝ka时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2.∴|x－2z|≤4.∴－4≤x－2z≤4，即－4≤a·b≤4.∴a·b的最大值为4.3．解析：由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.4．1解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1.当且仅当存在一个数k，使ai＝kxi(i＝1,2，…，n)时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.5．n2解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn)≥(×＋×＋…＋×)2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.当且仅当存在实数k，使得xi＝k·(i＝1,2，…，n)时等号成立．6．解：由柯西不等式，有(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥.当且仅当2x＝3y时取等号．由得于是4x2＋9y2的最小值为，最小值点为(，)．7．证明：∵a1＞a2＞…＞an＞an＋1，∴a1－a2＞0，a2－a3＞0，…，an－an＋1＞0，根据柯西不等式有：(a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an＋1)·≥2＝n2.∴原不等式成立．8．－18(4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|.∴|a·b|≤18.2当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18.此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．9．9解析：2x＋2y＋z＋8＝0⇒2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)＝－9.考虑以下两组向量：u＝(2,2,1)，v＝(x－1，y＋2，z－3)，由柯西不等式，得(u·v)2≤|v|2·|u|2；即[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2≤[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]·(22＋22＋12)．当且仅当x＝－1，y＝－4，z＝2时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥＝9.10．证明：设m＝，n＝(cosθ，sinθ)．则|a＋b|＝＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.11．解：因为f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋＝3x2－2(a＋b＋c)x＋a2＋b2＋c2＋＝32＋a2＋b2＋c2.所以x＝时，f(x)取最小值a2＋b2＋c2，即m＝a2＋b2＋c2.因为a－b＋2c＝3.由柯西不等式，得[12＋(－1)2＋22]·(a2＋b2＋c2)≥(a－b＋2c)2＝9，所以m＝a2＋b2＋c2≥＝，当且仅当＝＝，即a＝，b＝－，c＝1时等号成立．所以m的最小值为.3