高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末演练 轻松闯关（三）（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

第三章空间向量与立体几何[学生用书P147(单独成册)][A基础达标]1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝()A．(0，34，10)B．(－3，19，7)C．44D．23解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.2．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则MN＝()A．－a＋b＋cB．a＋b－cC.a－b－cD．－a＋b＋c解析：选A.因为M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND，所以AM＝AC，A1N＝A1D.又ABCDA1B1C1D1为平行六面体，且AB＝a，AD＝b，AA1＝c，所以AC＝a＋b，A1D＝b－c，所以MN＝MA＋AA1＋A1N＝－AC＋AA1＋A1D＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.3.如图所示，在几何体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为()A.B．C．2D．解析：选B.AE＝AB＋BC＋CE，因为|AB|＝|BC|＝1＝|CE|，且AB·BC＝AB·CE＝BC·CE＝0.又因为AE2＝(AB＋BC＋CE)2，所以AE2＝3，所以AE的长为.故选B.4．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选B.由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴正1方向建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，PB＝(1，0，－1)，AC＝(1，1，0)．设PB与AC所成的角为α，则cosα＝＝，所以α＝60°.5．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为()A.B．C．2D．解析：选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)．设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(1，0，a)，CD＝(1，0，a)，CB1＝(0，2，2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒令z＝－1，得m＝(a，1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.故选A.6．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________．解析：因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则解得答案：17．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则点B与点D之间的距离为________．解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则BM⊥MN，ND⊥MN，BM⊥ND，则AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于BD＝BM＋MN＋ND，所以|BD|2＝(BM＋MN＋ND)2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2＋2(BM·MN＋MN·ND＋BM·ND)＝＋12＋＋2(0＋0＋0)＝，故|BD|＝.答案：8．(2019·温州高二检测)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-ABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．解析：如图所示，过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角CABD的平面角，所以cos∠CFO＝.设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，所以O为正方形ABDE的中心．如图建立空间直角坐标系，2则E，A，M，N，所以EM＝，AN＝，所以cos〈EM，AN〉＝＝.答案：9.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB＝PD＝，F为AP上一点，且AP＝4AF.(1)求证：PO⊥底面ABCD；(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小．解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，所以O是AC，BD的中点．又PA＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD.(2)由底面ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又由(1)，知PO⊥AC，PO⊥BD.如图，连接OF，以O为坐标原点，以射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由△PAC是边长为2的等边三角形，PB＝PD＝，可得OA＝1，PO＝，OB＝OD＝.所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，所以CP＝(1...