第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1直线{x=3+tsin70°,y=-tcos70°的倾斜角为()A.20°B.70°C.110°D.160°解析:令t'=-t,直线的参数方程化为{x=3+t'cos160°,y=t'sin160°.故直线的倾斜角为160°.答案:D2极坐标方程ρ=cosθ和参数方程{x=-1-t,y=2+3t所表示的图形分别是()A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线解析: ρ=cosθ,∴x2+y2=x表示圆. {x=-1-t,y=2+3t,∴3x+y+1=0表示直线.答案:A3椭圆{x=3cost,y=4sint¿≤t≤2π)的离心率是()A.√74B.√73C.√72D.√75答案:A4已知三个方程:①{x=t,y=t2;②{x=tant,y=tan2t;③{x=sint,y=sin2t(都是以t为参数),则表示同一曲线的方程是()A.①②③B.①②C.①③D.②③解析:①②③的普通方程都是y=x2,但①②中x的取值范围相同,都是x∈R,而③中x的取值范围是-1≤x≤1.答案:B15若直线{x=tcosα,y=tsinα与圆{x=4+2cosθ,y=2sinθ,0≤θ≤2π相切,则直线的倾斜角为()A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.−π6或−5π6解析:直线的普通方程为y=tanα·x,圆的普通方程为(x-4)2+y2=4,由于直线与圆相切,则|4sinα|√sin2α+cos2α=2,即|sinα|¿12.∴tanα=±√33,∴α=π6或5π6.答案:A6设曲线C的参数方程为{x=2+3cosθ,y=-1+3sinθ¿≤θ≤2π),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为7√1010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d¿|2+3+2|√10=7√1010,且3−7√1010<7√1010,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案:B7若{x=x0-3λ,y=y0+4λ(λ为参数)与{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是()A.λ=5tB.λ=-5tC.t=5λD.t=-5λ解析:比较x-x0,得-3λ=tcosα,比较y-y0,得4λ=tsinα,消去α的三角函数,得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.答案:C28直线l1:{x=1+tcosα,y=2-tsinα,如果α为锐角,那么直线l1与直线l2:x+1=0的夹角是()A.π2−αB.π2+αC.αD.π-α解析:直线l1可化为y-2=-tanα(x-1),l2的倾斜角为π2,l1的倾斜角为π-α.故l1与l2的夹角为π2−α.答案:A9设R>0,则直线xcosθ+ysinθ=R与圆{x=Rcosθ,y=Rsinθ¿≤θ≤2π)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视R的大小而定解析:根据已知圆的圆心在原点,半径是R,则圆心(0,0)到直线的距离为d¿|0+0-R|√cos2θ+sin2θ=R,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相切.答案:B10参数方程{x=1t,y=1t√t2-1所表示的曲线是()解析:将参数方程进行消参,则t¿1x,把t¿1x代入y¿1t√t2-1中,得当x>0时,x2+y2=1,此时y≥0;当x<0时,x2+y2=1,此时y≤0.对照选项,可知D正确.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设直线l1的参数方程为{x=1+t,y=1+3t,直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为.解析:化l1为普通方程,l1:y=3x-2.3故l1与l2间的距离为d¿|-2-4|√32+(-1)2=35√10.答案:3√10512双曲线{x=tant,y=sect的渐近线方程为.解析:化参数方程为普通方程,得y2-x2=1.故其渐近线为y=±x,即x±y=0.答案:x±y=013椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形的最大面积是.解析:如图,设椭圆参数方程为{x=acost,y=bsint,设A(acost,bsint),t∈(0,π2),则S矩形=(2acost)(2bsint)=2absin2t,当2t¿π2,即t¿π4时,S矩形有最大值2ab.答案:2ab14圆的摆线上有一点(π,0),在满足条件的所有摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数t¿π4对应的点的坐标为.解析:根据摆线的参数方程{x=a(t-sint),y=a(1-cost)¿),把点(π,0)代入可得{π=a(t-sint),0=a(1-cost)⇒cost=1,则sint=0,t=2kπ(k∈Z),所以a¿π2kπ=12k¿∈Z),又a>0,所以k∈N+,当k=1时,a取最大值为12,再把t¿π4代入{x=12(t-sint),y=12(1-cost),得{x=π-2√28,y=2-√24.4答案:(π-2√28,2-√24)15已知直线l的参数方程为{x=1+t,y=4-2t,圆C的参数方程为{x=2cosθ+2,y=2sinθ¿≤θ≤2π),则直线l被圆C所截得的弦长为.解析:将直线l的参数方程{x=1+t,y=4-2t...
