椭圆的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.B.C.D.-【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.因为=,且c=,所以a=,b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1.3.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是()A.[4-2,4+2]B.[4-,4+]C.[4-2,4+2]D.[4-,4+]【解析】选A.方程可化为+=1,则-≤m≤,所以2m+4∈[4-2,4+2].14.椭圆+=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由==,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.5.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为()A.x2+y2=1B.(x-1)2+y2=4C.x2+y2=4D.x2+(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.6.(2017·全国丙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a⇒2=3c2,即=,e==.7.设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为()A.B.C.D.2【解析】选C.因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,所以4c2=|PF1|2+|PF2|2≥=2a2,即2c2≥a2,所以e2≥.又因为0
b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,当P点在y轴上时,h最大,此时最大.因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为__3______.【解析】因为e==,所以==,所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.设椭圆的标准方程为+=1(a>0),因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以≥,即e≥.又0b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.【解析】设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:+y2=,所以y2=ax-x2.①又P点在椭圆上,故+=1.②把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,因为x≠a,x≠0,所以x=,又0.又因为00,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.6
