2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：由题意，知圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线．答案：A2．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离．答案：A3．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：由题意，知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：B4．(2014·课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.答案：D5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，O为原点．若|OA|＝|OB|，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()A．x＝pB．x＝3pC．x＝pD．x＝p解析：由抛物线的对称性，知A，B两点关于x轴对称．设A点坐标为(x1，y1)，则B点坐标为(x1，－y1)．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为F，由F是△AOB的垂心，知AF⊥OB，因此kAFkOB＝－1，即·＝－1.①由点A在抛物线上，得y＝2px1.②1将②代入①，得x1＝，故直线AB的方程为x＝p.答案：D二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点．若△ABF为等腰直角三角形，则p＝________．解析：由题意，知△ABF的边长为2p，故点B，代入双曲线方程，得p＝2.答案：27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是__________________________．解析：依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y2＝4x.设斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，联立得消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．答案：三、解答题9.如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大．并求出这个最大面积．解：由解得或所以A(4，4)，B(1，－2)，所以|AB|＝3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d＝＝＝|(y0－1)2－9|.因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.所以d＝[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.因此，当P为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．解：如图所示，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1.设A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知：2|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，所以x1＋x2＝p.当x1＝x2时，|AB|＝2p＜p，所以直线AB与x轴不垂直．设直线AB的方程为y＝k.由得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0.所以x1＋x2＝，即＝p，解得k＝±2.所以AB所在直线的方程为y＝2或y＝2.B级能力提升1．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.答案：D2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果y＋y＝24，那么|AB|＝________．解析：因为y＝4x1，y＝4x2，所以以4(x1＋x2)＝y＋y＝24，即x1＋x2＝6.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：83．已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)...
