高中数学 第6章 推理与证明 6.1.2 合情推理（二）——类比应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

6.1.2合情推理（二）——类比[A基础达标]1．给出下列三个类比结论：①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③类比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，则有(xy)z＝x(yz)．其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.根据指数的运算法则知ax÷ay＝ax－y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sinαsinβ，②不正确；根据乘法结合律知：(xy)z＝x(yz)，③正确．2．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc≠0)的平面方程为()A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．mx＋ny＋cz＝1答案：A3．关于x，y的二元一次方程组的解是.则可类比猜想向量方程组的解为()A.B.C.D.解析：选A.类比实数的结果可得x＝，y＝，故选A.4．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码的系统，其加密、解密原理如下图：明文――――――→密文――→密文――――――→明文现在加密密钥为y＝loga(x＋2)．如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为()A．12B．13C．14D．15解析：选C.因为loga(6＋2)＝3，所以a＝2，即加密密钥为y＝log2(x＋2)，当接到的密文为4时，即log2(x＋2)＝4，所以x＋2＝24，所以x＝14.5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③解析：选C.因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．16．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)·an，类似地，若Tn是等比数列{bn}的前n项积，则有T2n－1＝________．解析：T2n－1＝b1·b2·b3·b4·…·b2n－1＝b.答案：b7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，所以＝bq22，＝bq38.即＝T4·，故T4，，成等比数列．同理可得，，成等比数列．答案：9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解：如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S.10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：①三角形两边之和大于第三边．②三角形的面积S＝×底×高．③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由...