周周回馈练(四)一、选择题1．双曲线y2－＝－1的虚轴长是()A.2B.2C.4D.4答案A解析双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1,2b＝2，即虚轴长为2，故选A.2．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1(x≥4)C.－＝1D.－＝1(x≥3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又c＝5，a＝3，∴b＝＝4. 焦点在x轴上，∴点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)．3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线答案D解析将方程化为－＝1.因为mn<0，所以－>0，所以已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．4．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A.4x±3y＝0B.3x±4y＝0C.4x±5y＝0D.5x±4y＝0答案A解析由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5,0)和(5,0)，焦点是(－3,0)，(3,0)，由此可知，双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，顶点为(－3,0)，(3,0)，所以双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为4x±3y＝0.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.或2答案D解析根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么双曲线的离心率为e＝＝2或，故选D.6．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由解得y＝±2，所以|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0，则2－k2≠0，且Δ＝(2k2)2－4(2－k2)(－3k2－2)＝16(k2＋1)＞0，则1x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝·＝·＝＝4，解得k＝±.所以满足题意的直线l有3条．故选C.二、填空题7．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．答案2解析由双曲线x2－＝1，得渐近线为y＝±bx，则交点为A(2,2b)，B(2，－2b)． S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.又 a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴焦距2c＝2.8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．答案2解析如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.9．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．答案6或－6解析若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，即k＝－6.综上所述，k的值为6或－6.三、解答题10．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为16，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．解(1)由题意知b＝8，且为等轴双曲线，∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝，当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.2∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为2，且离心率e＝.(1)求双曲线C的方程；(2)若点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，求△F1PF2的面积．解(1)因为实轴长为2，所以2a＝2，即a＝.又e＝＝，所以c＝2，从而b2＝c2－a2＝4－2＝2.故双曲线C的方程为－＝1.(2)因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF2|＝2，|PF1|＝4.又|F1F2|＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，所以sin∠F1PF2＝.故△F1PF2的面积为S△F1PF2＝|PF1||...
