高中数学 4.1 坐标系 4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

4.1.3球坐标系与柱坐标系同步测控我夯基，我达标1.设点M的直角坐标为（-1，3，3），则它的柱坐标是（）A.（2，3，3）B.（2，32，3）C.（2，34，3）D.（2，35，3）解析： ρ=22)3()1(=2，θ=34，z=3,∴M的柱坐标为（2，34，3）.答案：C2.设点M的直角坐标为（-1，-1，2），则它的球坐标为（）A.（2，4，4）B.（2，4，45）C.（2，45，4）D.（2，43，4）解析：由坐标变换公式，得r=222zyx=2,cosθ=rz=22,∴θ=4.tanφ=xy=-11=1,∴φ=45.∴M的球坐标为（2，4，45）.答案：B3.已知点M的球坐标为（4，4，43），则它的直角坐标为______________，它的柱坐标是______________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案：（-2，2，22）（22，43，22）.4.设点M的柱坐标为（2，6，7），则它的直角坐标为______________.解析： ρ=2,θ=6,z=7,∴x=ρcosθ=2cos6=3,y=ρsinθ=2sin6=1.∴点M的直角坐标为（3，1，7）.答案：（3，1，7）5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=4表示空间的______________.解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.1答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为2,中心轴为z轴的圆锥面6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离.思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离.解：如图，由点A、B的球坐标可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°. OB=R，∴O′B=O′A=22R.∴AB=R.则AO=BO=AB=R.∴∠AOB=60°.∴=61·2πR=3R.即A、B两点间的球面距离为3R.我综合，我发展7.已知点P的柱坐标为（2，4，5），点B的球坐标为（6，3，6），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（）A.P点（5，1，1），B点（463，423，26）B.P点（1，1，5），B点（463，423，26）C.P点（463，423，26），B点（1，1，5）D.P点（1，1，5），B点（26，463，423）解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记住互化公式,2问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为;cos,sinsin,cossinrzryrx柱坐标与直角坐标的互化公式为.,sin,coszzyx设P点的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos4=2×22=1,y=2sin4=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3cos6=6×23×23=463,y=6sin3sin6=6×23×21=423,z=6cos3=6×21=26.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(463,422,26).选B.答案：B8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A1（4，0，5），C1（6，2，5），则此长方体外接球的体积为______________.解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标A1(4,0,5),C1(6,2,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5.则对角线长为77654222.那么球的体积为34·π·(277)3=67777.答案：677779.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为3A（25，arctan724，θA）、B（25，π-arctan43,θB）,求出这两个截面间的距离.思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan724,∠BOO1=π-arctan43,即在△AOO1中,tan∠AOO1=724=11OOAO；在△BOO2中,∠BOO2=arctan43,tan∠BOO2=43=22OOBO. OA=25,∴OO1=7；又 OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即两个截面间的距离O1O2为27.10.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，4，6）、B（R，4，32），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多...