高考数学总复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业24 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业24正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(A)A．1B．2C．3D．4解析：在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1，故选A．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于(A)A．B．－C．±D．解析： 8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC．又 C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB． sinB≠0，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C．若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(C)A．3B．C．D．3解析：c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.① C＝，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝，故选C．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若2sinC＝sinA＋sinB，cosC＝且S△ABC＝4，则c＝(A)A．B．4C．D．5解析：因为2sinC＝sinA＋sinB，所以由正弦定理可得2c＝a＋b，①由cosC＝可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab，②又由cosC＝，得sinC＝，所以S△ABC＝absinC＝＝4，∴ab＝10.③由①②③解得c＝，故选A．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(C)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析： ＝，∴＝，∴b＝C．又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为(C)A．4πB．8πC．9πD．36π解析：由余弦定理得b·＋a·＝2.即＝2，整理得c＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝，c＝3_.解析：由＝得sinB＝sinA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝.解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因为0°＜A＜120°，所以A＝30°，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.9．(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即csin60°＋asin60°＝acsin120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1，∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，且sinC＝2sinB，则角A的大小为.解析：由sinC＝2sinB得，c＝2b，∴a2－b2＝bc＝b·2b＝6b2，∴a2＝7b2.则cosA＝＝＝，又 0