2.4.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线解析因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.答案A2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,根据抛物线的定义可得p2=12,∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.答案B3.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=√5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2解析抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0),点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴M(p2,±p);又|OM|=√5,∴(p2)2+p2=5,1解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.答案A4.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是()A.x+4=0B.x-4=0C.y2=8xD.y2=16x解析依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x.答案D5.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线x216-m−y2m+20=1的右焦点,则实数p的值为.解析因为c2=(p2)2=16-m+m+20=36,所以p=12.答案127.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-p2=-2,所以p=4,所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.28.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点(32,√6),求抛物线和双曲线的方程.解设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点(32,√6)在抛物线上可得(√6)2=2p·32,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线方程为x2a2−y21-a2=1.∵点(32,√6)在双曲线上,∴94a2−61-a2=1,解得a2=14或a2=9(舍去).同时b2=34,故所求双曲线的方程为x214−y234=1.3
