第三章空间向量与立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()①AB＋2BC＋2CD＋DC；②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC；③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD＋AD.A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①中，原式＝AB＋2BD＋DC＝AB＋BD＋BD＋DC＝AD＋BC，不符合题意；②中，原式＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋(AC＋CD＋DA)＝0；③中，原式＝CD，不符合题意；④中，原式＝(AB－AD)＋(CD－CB)＝0.故选C.答案：C2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析： l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.答案：D3．在下列四个命题中，真命题为()A．已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成p＝xa＋yb＋zcB．若a，b，c三向量两两不共线，则空间任意一个向量p总可以写成p＝xa＋yb＋zcC．若a，b，c不共面，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成p＝xa＋yb＋zcD．若a，b，c三向量两两不共线，则xa＋yb＋zc＝0的充要条件是x＝y＝z＝0解析：对于空间作为基底的三向量a，b，c必须要有限制，即不共面，故C正确．答案：C4．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于()A．19B．－C.D.解析：AB＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB|＝＝＝.故当x＝时，|AB|取最小值．答案：C5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB与AC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，|AB|＝3，|AC|＝，AB·AC＝3，∴cos〈AB，AC〉＝＝，∴〈AB，AC〉＝60°.1答案：C6．已知向量AM＝，AN＝，则平面AMN的一个法向量是()A．(－3，－2,4)B．(3,2，－4)C．(－3，－2，－4)D．(－3,2，－4)解析：设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，则即令z＝4，则n＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D符合．答案：D7．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C．(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析：设a＝(x，y，z)，AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：B8．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A.a2B.a2C.a2D．a2解析：如下图，AE＝(AB＋AC)，AF＝AD，AE·AF＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.答案：C9．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．∴AB＝(，1,0)，SB＝(，1，－3)，SC＝(0,2，－3)．设面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．则令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)．2设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.答案：D10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)．∴BA1＝(－1,0,1)，AC1＝(0,1,1)．∴cos〈BA1，AC1〉＝＝＝.∴〈BA1，AC1〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.答案：B11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则DA1＝(1,0,1)，DE＝.设平面A1DE的法向量n1＝(x，y，z)，则∴解得令z＝1，∴n1＝.平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.答案：B12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()3A.B.C.D.解析：连接A1D，则O，C1(0，1,1)．易知平面ABC1D1的一个法向量n＝DA1＝(1,0,1)，与之同向的单位向量为n0＝，∴d＝|C1O·n0|＝.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分...
