高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

1.4全称量词与存在量词基础练习1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．2．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x＋2x0＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为()A．1B．2C．3D．0【答案】B【解析】命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2【答案】B【解析】选项A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B中x＝0时，x2＝0，所以选项B既是特称命题又是真命题；选项C中因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以选项D是假命题．4．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．(¬p)∧(¬q)【答案】B【解析】因为x＝－1时，2－1＞3－1，所以命题p：“∀x∈R,2x＜3x”为假命题，则¬p为真命题．令f(x)＝x3＋x2－1，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以函数f(x)＝x3＋x2－1在(0,1)上存在零点，即命题q：“∃x0∈R，x＝1－x”为真命题．则(¬p)∧q为真命题．故选B．5．命题“∃x0∈R，x－x0＋3＝0”的否定是__________．【答案】∀x∈R，x2－x＋3≠0【解析】 命题“∃x∈R，x2－x＋3＝0”是特称命题，∴其否定命题为“∀x∈R，x2－x＋3≠0”．6．给出下列命题：1①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．其中是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)∀x∈N，x3>x2；(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3)∃x∈R，x2－x＋1≤0；(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．解：(1)当x＝1时，13＝12，∴x＝1时，x3>x2不成立，即此命题是假命题．命题的否定：∃x0∈N，x≤x.(2)15可以被5整除，但15的末位数字不是0，∴此命题是假命题．命题的否定：有些可以被5整除的整数，末位数字不是0.(3) x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴此命题是假命题．命题的否定：∀x∈R，x2－x＋1>0.(4)菱形的对角线互相垂直且平分，∴此命题是真命题．命题的否定：任何一个四边形，它的对角线不互相垂直或不互相平分．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．解：若命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真命题，则a≤x2在区间[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.命题“p且q”为真命题，即命题p，q都为真命题，所以取两个范围的交集，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.能力提升9．(2019年四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)的值为()A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.10．(2019年广西柳州期中)下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是()A．∃a0∈R，当x>a0时，总有f(x)