2.2.2椭圆的简单几何性质课时演练·促提升A组1.椭圆9x2+y2=36的短轴长为()A.2B.4C.6D.12解析:原方程可化为=1,所以b2=4,b=2,从而短轴长为2b=4.答案:B2.已知椭圆焦点在x轴上,长轴长为10,离心率为的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:∵2a=10,,∴c=3.∴b2=a2-c2=16.又∵焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.答案:D3.若椭圆的焦距,短轴长,长轴长构成一个等比数列,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析:依题意有(2b)2=2c·2a,因此b2=ac,即a2-c2-ac=0,从而e2+e-1=0,解得e=.答案:A4.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是()A.B.C.D.解析:联立方程消去y,得3x2+4x-2=0.设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为P(x0,y0),则x0==-,y0=x0+1=-+1=.答案:C5.若方程=1表示长轴长是10的椭圆,则实数m的值为()A.0B.9C.0或9D.-75解析:当焦点在x轴上时,有解得m=0.当焦点在y轴上时,有解得m=9.综上,实数m的值为0或9.答案:C6.椭圆C1:=1比椭圆=1更.(填“扁”或“圆”)解析:由已知椭圆C1的离心率为e1=,C2的离心率为e2=,且e1b>0),由椭圆的对称性和正方形的对称性可知:正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等等腰直角三角形,因此b=c(2c为焦距).由题意得解得故椭圆的方程为+y2=1或x2+=1.(2)椭圆离心率e=.10.已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.解:(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意知a=3,c=2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.由方程组消去y,得10x2+36x+27=0.因为Δ>0,所以点A,B不重合.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+4=,故线段AB的中点坐标为.(2)设直线y=x+2与x轴交于点M,则点M的坐标为(-2,0),则S△OAB=S△OAM+S△OBM.由(1)可知,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-,则S△OAB=×2×|y1|+×2×|y2|=|y1-y2|===.B组1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,且满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.解析:设M(x,y),∵=0,∴点M的轨迹方程为x2+y2=c2,其中F1F2为圆的直径.由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部,设点P为椭圆上任意一点,则|OP|>c恒成立.由椭圆的性质知|OP|≥b,∴b>c,∴c22c2,∴.∴0b>0),AB是它的弦,且M(2,1)是弦AB的中点,直线AB的倾斜角为135°,则椭圆E的离心率为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,得=0,即=-.又弦AB的中点为M(2,1),直线AB的倾斜角为135°,所以x1+x2=4,y1+y2=2,kAB=-1.所以kAB==-=-1,即a2=2b2=2(a2-c2).所以e=.2答案:4.已知椭圆=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,过椭圆的中心O的直线交椭圆于B,C两点,且=0,||=2||,求此椭圆的方程.解:∵||=2||,∴||=2||.∵=0,∴AC⊥BC.∴△AOC为等腰直角三角形.∵|OA|=2,∴点C的坐标为(1,1)或(1,-1),a=2.∵点C在椭圆上,∴=1,b2=.∴所求椭圆的方程为=1.5.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P,Q,已知PQ的中点横坐标为2,求k的值.解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则两式相减得(x2+x1)(x2-x1)=-4(y2+y1)(y2-y1).整理得=-,依题意k=,x1+x2=4,代入得k=-.设PQ的中点坐标为M(2,y0),则y0==-,于是M(2,-),代入直线y=kx-2,得-=2k-2,解得k=.6.已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.解:(1)由已知,得c=2,解得a=2,∴b2=a2-c2=4.故椭圆G的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1
