课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列运算中正确的是()A．(lnx－3sinx)′＝(lnx)′－3′·(sinx)′B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′C．＝D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosxB[结合导数的运算法则可知B正确．]2．已知f(x)＝，则f′(x)＝()A．B．－1C．1－lnxD．D[f′(x)＝＝＝，所以选D．]3．对于函数f(x)＝＋lnx－，若f′(1)＝1，则k等于()A．B．C．－D．－A[f′(x)＝＋＋，∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，∴k＝.]4．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2A[ y′＝＝，∴k＝y′|x＝－1＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A．]5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0A[y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时等号成立)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－·(x－0)，则x＋4y－2＝0.]二、填空题6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值为________．－[因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，所以f′(2)＝－.]7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.12[设ex＝t，则x＝lnt，故f(t)＝lnt＋t，从而f(x)＝lnx＋x，由f′(x)＝＋1，得f′(1)＝2.]8．已知f(x)＝ex－x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__________．y＝(e－1)x[设切点坐标为(x0，ex0－x0)．由题意，可得切线斜率k＝f′(x0)＝ex0－1，所以切线方程为y＝(ex0－1)x－x0ex0＋ex0.又切线过原点，所以－x0ex0＋ex0＝0，则x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x3sinx；(2)y＝；(3)y＝cosx＋x；(4)y＝lnx－；(5)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)；(6)y＝tanx.[解](1)y′＝(x3sinx)′＝(x3)′sinx＋x3(sinx)′＝3x2sinx＋x3cosx.(2)y′＝＝＝＝－.(3)y′＝(cosx＋x)′＝(cosx)′＋(x)′＝－sinx＋x＝－sinx＋.(4)y′＝＝(lnx)′－＝－ln＝＋ln2.(5)由于y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，所以y′＝(x4－1)′＝4x3.(6)由于y＝tanx＝，所以y′＝＝＝＝.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f(1)＝－.又因为f′(1)＝2a＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.1．设曲线f(x)＝ax－lnx在点(1，f(1))处的切线与y＝2x平行，则a＝()A．0B．1C．2D．3D[f′(x)＝a－，由题意得f′(1)＝2，即a－1＝2，所以a＝3.]2．(多选题)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosx2B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝xexABC[对A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx<0.故f(x)在上是凸函数；对B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－<0，故f(x)在上是凸函数；对C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x<0，故f(x)在上是凸函数；对D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝ex(2＋x)>0，故f(x)在上不是凸函数．]3．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．1[ f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.]4．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为__________．1[ f′(x...
