作业15三角函数的图象和性质（2）参考时量：60分钟完成时间：月日一、选择题1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象(部分)如图，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2sin(x∈R)B．f(x)＝2sin(x∈R)C．f(x)＝2sin(x∈R)D．f(x)＝2sin(x∈R)解析：由三角函数图象可得A＝2，T＝4×＝2＝，则ω＝π，将点代入f(x)＝2sin(πx＋φ)可得sin＝1，解得φ＝，∴f(x)＝2sin.答案：A2．函数y＝sin的图象()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称解析：当x＝时，y＝sinπ＝0，当x＝时y＝sin＝cos＝，∴函数y＝sin的图象关于对称．答案：A3．若函数f(x)＝(1＋tanx)·cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.＋1D.＋2解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin，∵0≤x<，∴f(x)max＝2.答案：B4.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间7[,]1212上单调递减B．在区间7[,]1212上单调递增C．在区间[,]63上单调递减D．在区间[,]63上单调递增5．已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则()1A．ω＝1，φ＝B．ω＝1，φ＝－C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝－解析：由＝－解得ω＝2，又当x＝时，ωx＋φ＝，解得φ＝－.答案：D6.已知f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是()A.B.C.D.解析：f(x)＝2sin，y＝f(x＋φ)＝2sin图象关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.答案：D二、填空题7．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图象可知1＜k＜3.答案：(1,3)8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.答案：sin9．对于函数f(x)＝，给出下列三个命题：(1)该函数的图象关于x＝2kπ＋(k∈Z)对称；(2)当且仅当x＝kπ＋(k∈Z)时，该函数取得最大值1；(3)该函数是以π为最小正周期的函数．上述命题中正确的是________．解析：由函数f(x)的图象知，在x＝0处，函数也取得最大值，∴(2)错；函数f(x)的最小正周期为2π，∴(3)错；由题意可知，(1)正确．答案：(1)10、函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.三、解答题11．(本小题满分10分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．2解：(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，∴k＝－1，则φ＝－.(2)由(1)得：f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.12．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求PM与PN的夹角的余弦．解：(1)由已知：2sinφ＝1，即sinφ＝，又0≤φ≤，∴φ＝，因此y＝2sin.(2)令2sin＝0，则πx＋＝kπ，k∈Z，即x＝k－，k∈Z.当k＝1时，x＝，则N；当k＝0时，x＝－，则M.又P，∴PM＝，PN＝.cos〈PM，PN〉＝＝.∴PM与PN的夹角的余弦为.13．(本小题满分10分)设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解：∵a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－sinxcosx－sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋(1＋cos2x)＝cos2x－sin2x＋2＝cos(2x＋)＋2.(1)函数f(x)的最大值为2＋，最小正周期为π.(2)d＝.将y＝f(x)的图象按向量d平移得的图象对应的函数解析式为y＝－sin2x.3
