学业分层测评(七)第2章2.2.1直接证明(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.命题“函数f(x)＝x-xlnx在区间(0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x-xlnx求导得f′(x)＝-lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝-lnx>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法.【答案】综合法2.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是x________y.【解析】要比较x，y的大小.∵x>0，y>0，只需比较x2，y2的大小，即与a＋b的大小.∵a，b为不相等的正数，∴2
0，cosθ<0.∴sinθ-cosθ＝＝.∴sinθ＝，∴cos2θ＝1-2sin2θ＝1-2×＝-.【答案】-4.(2016·南京高二期末)已知函数f(x)＝ex-ax在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是________.【解析】函数f(x)＝ex-ax在区间(0,1)上有极值，就是导函数f′(x)＝ex-a在区间(0,1)上有零点.即方程ex-a＝0在区间(0,1)上有解.所以a＝ex∈(1，e).【答案】(1，e)5.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________.【解析】函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0)＝0，即＝0，∴a＝1.【答案】16.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.【解析】∵a1·a9＝a，即a1·(a1＋8d)＝(a1＋2d)2，∴4d(a1-d)＝0，∵d≠0，∴a1＝d，∴＝＝.【答案】7.(2016·济南高二检测)已知函数f(x)＝(m-2)x2＋(m2-4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝-x3＋2x2＋mx＋5在(-∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.【解析】因为f(x)＝(m-2)x2＋(m2-4)x＋m是偶函数，所以m2-4＝0，m＝±2.由题意知g′(x)＝-3x2＋4x＋m≤0恒成立，则Δ＝42-4×(-3)×m≤0，解得m≤-，故m＝-2.【答案】-28.如图221，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可).1图221【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)二、解答题9.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥4S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2-2abcosC)≥2absinC，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立.所以a2＋b2＋c2≥4S.10.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos2B-8cosB＋5＝0，求证：△ABC为正三角形.【证明】∵2cos2B-8cosB＋5＝0，∴4cos2B-8cosB＋3＝0，∴cosB＝或cosB＝(舍去)，∴B＝60°.∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴cosB＝＝＝，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为正三角形.能力提升]1.如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________.【解析】a＋b>a＋b⇔a-a>b-b⇔a(-)>b(-)⇔(a-b)(-)>0⇔(＋)(-)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可.【答案】a≥0，b≥0且a≠b2.已知△ABC的两顶点A、B是双曲线-＝1的左右两个焦点，顶点C在双曲线的右支上，则＝________.【解析】∵A、B是双曲线-＝1的左右两个焦点，C在双曲线的右支上，∴|AB|＝2＝10，|CA|-|CB|＝6，由正弦定理，得＝＝-.【答案】-3.使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.【导学号：97220019】【解析】由＋2>1＋，得<＋2-1，即p<(＋2-1)2，2所以p<12＋4-4-2，由于12＋4-4-2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0abc.∵a，b，c是不全相等的正数，∴≥>0，≥>0，≥>0，∴··>＝abc.即··>abc成立.∴logx＋logx＋logx
