高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝(n∈N*)．以下为证明过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，则当n＝k＋1时ak＋1＝(已知)＝(代入假设)＝(变形)＝(目标)即当n＝k＋1时，结论也成立．1由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝成立．思考3你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．思考4用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝，那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝＝，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．反思与感悟(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，所以等式成立．假设n＝k(k∈N*)时，1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．那么当n＝k＋1时，21－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋[－]＝＋＋…＋＋，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．探究点三用数学归纳法证明数列问题例2已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解S1＝＝；S2＝＋＝；S3＝＋＝；S4＝＋＝.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用...