高中数学 第一章 坐标系复习课检测（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

第一章坐标系复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于伸缩变换的定义的易错点．对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式要区分(x，y)与(x′，y′)的意义．在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．关注直角坐标与极坐标互化的疑难点．由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定θ的大小．3．处理极坐标系问题中的两个易错点．(1)当极坐标方程中仅含θ(不含ρ)时，常常忽略ρ的正负导致判断错误．(2)平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离|AB|＝，极坐标系中两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝.在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．专题一平面上的伸缩变换1.点P(x，y)变为点Q(x′，y′)的伸缩变换为：2．变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个．但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x，y)是变换前的坐标，Q(x′，y′)是变换后的坐标．[例1]在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变成曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．点拨：考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线方程．解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简得曲线C的方程为＋(y＋3)2＝，则该曲线是以为圆心，为半径的圆．归纳升华1函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当00)及ρcosθ＝a，ρsinθ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．[例2]在直角坐标系Oxy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)，当θ＝时，ρ＝，所以N.(2)点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为，所以MN的中点P的直角坐标为，所以点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．归纳升华此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法．[变式训练]在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．解：因为ρ＝12sinθ，所以ρ2＝12ρsinθ，所以x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又因为ρ＝12cos，所以ρ2＝12ρ，所以x2＋y2－6x－6y＝0，所以(x－3)2＋(y－3)2＝36，所以|PQ|max＝6＋6＋＝18.2专题三极坐标与直角坐标互化如图所示，互化公式为：对于tanθ＝中θ值的确定，还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度．[例3]⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2...