高中数学 1.1.2基本不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1．1.2基本不等式1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．1．定理1.如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．思考1利用定理1有：x2＋32≥________，其中等号成立的条件是：x＝________．答案:6x32．定理2.如果a，b是正数，那么≥(当且仅当a＝b时取“＝”)．思考2如果x，y是正数，那么________(当且仅当x＝y时取“＝”)．答案:≥3.≥的几何解释．如右图所示，以a＋b为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过C作弦DD′⊥AB，则CD2＝CA·CB＝ab.从而CD＝，而半径≥CD＝.4．重要结论．已知x，y都是正数，则：(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________．1答案:(1)2(2)S2思考3已知x，y都是正数，积xy是定值100，那么当x＝y时，和x＋y有最________值________．已知x，y都是正数，和x＋y是定值3，那么当x＝y时，积xy有最________值________．答案:小20大1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18答案:D2．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋)>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析：应用基本不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．答案：C3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析： a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a<0时，b<0时，明显错误．对于D， ab>0，∴＋≥2＝2.答案：D4．(2014·上海高考理科)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，所以x2＋2y2的最小值为2.答案：2.25．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可． 2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．答案：D6．若正数x，y满足x＋3y＝5xy.则3x＋4y的最小值是()A.B.C．5D．6解析：将已知条件进行转化，利用基本不等式求解． x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝(＋4＋9＋)＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.答案：C7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时．x＋2y－z的最大值为()A．0B.C．2D.解析：含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴＝＝＋－3≥2－3＝1.当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.答案：C8．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．5解析： a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝(＋)·＝＋≥＋2＝，故y＝＋的最小值为.答案：C9．设x，y∈R且xy≠0，则的最小值为________．解析：＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时，等号成立．答案：910．设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．解析：分a>0和a<0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．3当a>0时，＋＝＋＝＋＝＋≥；当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝.综上所述，＋的最小值是.答案：11．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A．6＋2B．7＋2C．6＋4D7＋4解析：由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝2＋3时等号成立，故其最小值是7＋4.答案：D12．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是______．答案:13．某单位用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边...