高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时分层作业（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(六)反证法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2C[若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②显然①②矛盾，所以C正确．]二、填空题6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是__________．|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于[“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．]7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设______________________________________________．x≠－1且x≠1[反证法的反设只否定结论，“或”的否定是“且”，所以是x≠－1且x≠1.]8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)[由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．]三、解答题9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.[证明]假设，都不小于2，即≥2，≥2. x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴，中至少有一个小于2.10．已知m是整数，且m2＋6m是偶数，求证：m不是奇数．[证明]假设m是奇数，不妨设m＝2k－1(k∈Z)，则m2＋6m＝(2k－1)2＋6(2k－1)＝4k2＋8k－5＝4(k2＋2k)－5，因为k∈Z，所以k2＋2k∈Z，于是4(k2＋2k)是偶数，从而4(k2＋2k)－5为奇数，即m2＋6m是奇数，这与已知条件中的m2＋6m是偶数相矛盾，因此假设错误，即m不是奇数．1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，()A．不能同时大于B．都大于C．至少一个大于D．至多有一个大于A[法一：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于. a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数．≥＞＝，同理＞，＞.三式相加，得＋＋＞，即＞，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.法二：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>，①因为0