作业17三角公式及变换（2）参考时量：60分钟完成时间：月日一、选择题1、函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的最大值和最小正周期分别是()A．2，πB.＋1，πC．2,2πD.＋1,2π2、若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()A.B.C.D.3、已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－2π,2π)，则tan2βα的值是()A.21B.－2C.34D.21或－24、△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值是()A．1B．－1C．3D．45、若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋B．1－C．1±D．－1－6、函数f(x)＝sinx－cos的值域为()A．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D.二、填空题7、若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．8、当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.9、已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.10、已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两根，则a＝________.三、解答题11、已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析式．12、已知cos(4+x)=53，(1217＜x＜47)，求xxxtan1sin22sin2的值..113、（1）已知（2）已知（3）已知（4）已知练习答案1、答案：B.详解：y＝2cosxsinx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1，所以当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时取得最大值＋1，最小正周期T＝＝π.22、答案：D.详解：∵tanθ＋＝4，∴＋＝4，∴＝4，即＝4，∴sin2θ＝.3、解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－2,2)∴α、β∈(－2,θ),则2βα∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa,整理得2tan222βαtan32βα=0.解得tan2βα=－2.答案：B4、答案：B.详解：因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B.5、答案：B.详解：由题意知：sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴＝1＋，解得：m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.6、答案：B详解：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式后求解．∵f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＋sinx＝＝sin(x∈R)，∴f(x)的值域为[－，]．二、填空题7、答案：2.详解：－1＝tan＝tan(α＋β)＝，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.8、答案：π.详解：利用正弦函数的性质求解．∵y＝sinx－cosx(0≤x<2π)，∴y＝2sin(0≤x<2π)．由0≤x<2π知，－≤x－<，∴当y取得最大值时，x－＝，即x＝π.9、答案：0.详解：原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝0.10、答案：1－详解：由题意知，原方程判别式△≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.∵又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2－2a－1＝0，∴a＝1－或a＝1＋(舍去)．3三、解答题11、答案：(1)见详解.(2)f(x)＝详解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)由(1)得＝2tanα，即＝2x，∴y＝，即f(x)＝.2237177512:cos(),sin2cos2().,2,45425124344sin22sin2sincos2sin2sin(sincos)cossin()sin451tancossin1cos74()sin2sin()282554375cos()45xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、解又13、解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∴＝①∵∴∴②③∴将②③代入①得（2）注意到这里有关各角的关系式：（和差与倍半的综合关系）4∴＝①∵∴∴又②∴③∴将②③代入①得于是有.（3）注意到这里有关各角之间的关系式∴∴①∵∴又②∴③∴将②③代入①得，故得（4）解法一（从寻找两角与的联系切入）：5由已知得：①∵∴②③此时注意到在内单调递增.∴由①②③得∴于是得.解法二（从已知式的化简切入）由已知得④∵∴∴由④得⑤于是再由及⑤得.6
