课后提升作业十六抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是()A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2016·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4.4.(2016·武汉高二检测)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-【解析】选C.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,故-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF==-.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=1()A.B.C.-D.-【解析】选D.由得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB===-.6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).因为当x=时,|y|=p,所以p===6.又P到AB的距离始终为p,所以S△ABP=×12×6=36.【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4
2.27.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0)，设圆的方程为x2+y2=r2，题目条件翻译如图：设0pAx,22D(5),2，，点A(x0,22)在抛物线y2=2px上，所以8=2px0.①点Dp(,5)2在圆x2+y2=r2上，所以5+2p()2=r2.②点A(x0,22)在圆x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.③联立①②③解得：p=4，焦点到准线的距离为p=4．8.(2016·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a>0B.00,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.二、填空题(每小题5分,共10分)39.以双曲线-=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________.【解析】由-=1知a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,双曲线的右焦点为(3,0),依题意,抛物线的焦点F(3,0),=3,所以p=6,所以抛物线的方程为y2=12x.答案:y2=12x10.(2016·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,|PM|=|PN|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.答案:3-1【补偿训练】抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是________.【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,4故y0=|AH|=(x0-...
