高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 抛物线方程及性质的应用高效测评 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.2抛物线方程及性质的应用高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是()A.或B．或C.或D．解析：抛物线的焦点为，过焦点垂直于x轴的弦长为6≠12，∴该弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得：4k2x－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∴x1＋x2＝，∴x1＋x2＋3＝＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1.答案：B2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案：B3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为()A.B．C.D．解析：由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝.答案：B4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：根据题意写出直线AB的方程后求出A点坐标，然后再求解．1∵y2＝4x的焦点为F(1,0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝(x－1)，将其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0.∴x＝或x＝3.又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2.∴S△OAF＝×1×2＝.答案：6．设点M与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则当d1＋d2取最小值时，P点坐标为________．解析：当P点是M与焦点F连线与抛物线交点时，d1＋d2最小，MF的方程为y＝x－，与抛物线y2＝2x联立得P(2,2)．答案：(2,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在P点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直线方程为y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)①将y1＋y2＝2代入①得k＝＝3，∴直线方程为3x－y－11＝0.8．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，联立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，故x1＝.①又|FA|＝2|BF|，∴FA＝2BF，则x1－1＝2(1－x2)②由①②得x2＝(x2＝1舍去)，所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．9．(10分)(2014·河南洛阳八中高二段考)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．解析：(1)证明：设A(－y，y1)，B(－y，y2)；由得ky2＋y－k＝0，y1y2＝－1，y1＋y2＝－.∴OA·OB＝y1y1＋yy＝y1y2(1＋y1y2)＝0，∴OA⊥OB.(2)由(1)知|y1－y2|＝＝，∴S△OAB＝·1·|y2－y1|＝＝，∴k＝±.2