课时作业62定点与定值问题1．过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0≠0)分别作斜率为k和－k的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线y2＝2px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题易知k≠0.由消去x，得y2－y＋－2px0＝0，由韦达定理得y0＋y1＝，所以y1＝－y0.①同理y0＋y2＝－，得y2＝－－y0.②由①②得y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝＝＝＝－，故直线AB的斜率为定值．2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足PA―→·PB―→＝－2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题意得＝，①因为椭圆经过点M(，1)，所以＋＝1.②又a2＝b2＋c2，③由①②③解得a2＝8，b2＝c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，消去y，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.由Δ>0，得8k2＋4－m2>0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以PA―→·PB―→＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝(x1－)(x2－)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－)·(x1＋x2)＋6＋m2＝－2，得(k2＋1)x1x2＋(km－)(x1＋x2)＋8＋m2＝0，即(k2＋1)＋(km－)＋8＋m2＝0，整理得(m＋2k)2＝0，从而m＝－k，满足(*)，所以直线AB的方程为y＝k，故直线AB恒过定点.②当直线AB与x轴垂直时，若直线为x＝，此时点A，B的坐标分别为，，满足PA―→·PB―→＝－2，此时直线x＝也过定点.综上，直线AB恒过定点.3．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离的最小值为－1.(1)求椭圆的方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且点M，证明：MA―→·MB―→1为定值．解：(1)圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，则圆心为(－1，0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.又椭圆上的点到点F的距离的最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.可求得A，B，此时MA―→·MB―→＝·＝－.②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为MA―→·MB―→＝·＝＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋k(x1＋1)·k(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋＝(1＋k2)·＋＋k2＋＝＋＝－2＋＝－.所以MA―→·MB―→为定值，且定值为－.1．如图所示，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．(1)求椭圆C的方程；(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线AB、AD斜率之和为定值．解：(1)由题意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线BD的方程为y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，所以Δ＝－8m2＋64>0，则－2b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，点(，1)在椭圆E上．因此，解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(...
