高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程优化练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.1曲线与方程[课时作业][A组基础巩固]1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x替x，以－y替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故选B.答案：B3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.答案：C4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝.即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案：D5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()A．a＞1B．0＜a＜11C．0＜a＜1或a＞1D．a∈∅解析：当0＜a≤1时，两曲线只有一个交点(如图(1))；当a＞1时，两曲线有两个交点(如图(2))．答案：A6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0. (x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，∴解得从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹方程为________．解析：设圆心C(x，y)，由题意得＝y＋1(y>0)，化简得x2＝8y－8.答案：x2＝8y－88．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝平行的直线，则l1与l2的交点P的轨迹方程是________，轨迹是________．解析： kl1＝，∴l1：y＝x；kl2＝－，l2：y＝－x＋2，∴l1⊥l2，故交点在以原点(0,0)，A(0,2)为直径的圆上但与原点不重合，∴交点的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1(y≠0)．答案：x2＋(y－1)2＝1(y≠0)以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)9．已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝|AB|＝3.所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP·MN＝4，求动点P的轨迹方程．解析：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，∴MN＝(x，－2y)，∴OP·MN＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.[B组能力提升]1．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝02C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B2．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4，－4)．答案：B3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM·PN＝12，则点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，则PM＝(－2－x，－y)，PN＝(2－x，－y)．于是PM·PN＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．答案：x2＋y2＝164．直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为________．解析：设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得2＋y2＝.因为点M应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组得两曲线交点的横坐标为x＝，故所求轨迹方程为2...