第4讲圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题1．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆Γ于A，B两点，当MA·MB取得最大值时，求△MAB的面积．解：(1)由题意得a＝2，＝，得c＝，所以a2－b2＝2，即4－b2＝2，所以b2＝2，所以椭圆Γ的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，则点M与点A重合，MA＝0，所以MA·MB＝0.当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由，得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，显然Δ>0，所以y3＋y4＝，y3·y4＝，所以MA·MB＝(x3＋2)(x4＋2)＋y3y4＝(ty3＋3)(ty4＋3)＋y3y4＝(t2＋1)y3y4＋3t(y3＋y4)＋9＝(t2＋1)·＋3t·＋9＝＋9＝＋9＝≤.所以MA·MB的最大值为，此时t＝0，l：x＝1，不妨取A，B，则|AB|＝，又|MN|＝3，所以△MAB的面积S＝|AB|·|MN|＝××3＝.2．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知A，B是x轴正半轴上的两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点．(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．解：(1)由题意知A，则B，D，则C，又a＝p，所以kCD＝＝－1.(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb<，又y1＋y2＝，y1y2＝，由y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，可知k>0，b>0，因为|CD|＝|x1－x2|＝a，点O到直线CD的距离d＝，所以S1＝·a·＝ab.又S2＝·|x1－x2|＝··a＝，所以＝，因为00)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点．(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程；(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)，即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由，得y2－4ty－4＋4t＝0，所以Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)>0，y1＋y2＝4t，所以4t＝2，即t＝.所以直线l的方程为2x－y－1＝0.(2)为定值2p，证明如下．因为抛物线C：y2＝2px(p>0)，所以焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，因为直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由，得y2－2pty－p2＝0，所以y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2>0.所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，所以M(pt2＋，pt)．所以MN的方程为y－pt＝－t(x－pt2－)．令y＝0，解得x＝pt2＋，N(pt2＋，0)，所以|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，所以＝＝2p.4．(2019·湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|·|BA|＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e＝得a＝2c①.由|BF|·|BA|＝2，得a·＝2，所以ab＝2②.a2－b2＝c2③，由①②③可得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k>0)，由得，(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，可知Δ>0，所以k>.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝，PG＋PH＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，GH＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．因为菱形的对角线互相垂直，所以(PG＋PH)·GH＝0，所以(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得m＝－，即m＝－，因为k>，所以－≤m<0(当且仅当＝4k时，等号成立)．所以存在满足条件的实数m，m的取值范围为[－，0)．
