1.2.3弦切角定理课后作业提升1如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE=().A.14°B.38°C.52°D.76°解析:∵EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=∠BOC=38°.答案:B2如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC=().A.2B.3C.2D.4解析:连接BC,如图所示,∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又EF⊥AD,∴∠ACB=∠ADC.∴△ACB∽△ADC.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12.∴AC=2.答案:C3如图所示,∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有().1A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为☉O的弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.答案:C4如图所示,Rt△ABC内接于☉O,∠ABC=60°,PA是☉O的切线,A为切点,PB交AC于点E,交☉O于点D.若PA=AE,PD=,BD=3,则AP=,AC=.解析:∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径.∵PA与☉O相切,∴AB⊥AP,∠PAE=∠ABC=60°.又∵PA=PE,∴△PAE是等边三角形,∴∠P=60°,∴∠ABP=30°.∵PA=PBsin∠ABP=(+3)sin30°=2,AB=PBcos∠ABP=(+3)cos30°=6,∴在Rt△ABC中,AC=ABsin∠ABC=6sin60°=3.答案:235如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=.解析:连接AO,则由∠ABC=30°知∠AOP=60°.又OA=1,∴PA=OA·tan60°=.答案:6如图所示,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.2分析:要证BE·BF=BC·BD,只需证明,即证明△BEC∽△BDF,∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.证明:如图,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.∵AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,则BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.∵∠CBE=∠FBD,∴△BEC∽△BDF.∴,即BE·BF=BC·BD.7如图,☉O内切△ABC的边于D,E,F三点,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.证明:(1)圆心O在直线AD上;(2)点C是线段GD的中点.证明:(1)∵AB=AC,AF=AE,∴CF=BE.∵CF=CD,BD=BE,∴CD=BD.又∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴AD是∠CAB的平分线.∴内切圆圆心O在直线AD上.(2)连接DF,如图所示,由(1)知,DH是☉O的直径,∴∠DFH=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°.又∵∠G+∠FHD=90°,∴∠FDH=∠G.∵☉O与AC相切于点F,∴∠GFC=∠AFH=∠FDH=∠G,∴∠GFC=∠G.∴CG=CF.又CF=CD,∴CG=CD,∴点C是线段GD的中点.3备课资源参考备选习题1.如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?解:(1)∵PC是切线,C为切点,∴∠BCP=∠A.又∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.∴2∠BCP+∠P+90°=180°.∴∠P=90°-2∠BCP.(2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.∴∠P=30°.∴PB=BC,BC=AB.∴PB=PA,即PA=3PB.(3)∠A不可能等于45°.原因:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,∴CP∥AB.与题干中PC与AB交于点P矛盾,∴∠A不可能等于45°.2.如图,已知C点在☉O直径BE的延长线上,CA切☉O于A点,∠ACB的平分线交AE于F点,交AB于D点.(1)求∠ADF的度数.(2)若∠ACB的度数为y,∠B的度数为x,那么y与x之间有怎样的关系?试写出你的猜测并给出证明.分析:(1)中由AC为☉O的切线可得∠B=∠EAC,由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB,根据三角形外角定理,得到∠ADF=∠AFD,建立等腰三角形,再由顶角求底角;(2)中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系.解:(1)∵AC为☉O的切线,∴∠B=∠EAC.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB.∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.∵BE为☉O的直径,∴∠DAE=90°.∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.(2)∵∠B=∠EAC,∠B+∠BAC+∠ACB=180°.∴x+90°+x+y=180°.∴y=90°-2x.∵0°<∠B<∠ADC,∴0°
