【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章推理与证明知能基础测试新人教B版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－2[答案]A[解析]增加的一条侧棱与其不相邻的k－2条侧棱形成k－2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k－1个对角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故选A.2．已知a>0，b>0，a、b的等差中项为，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]由已知得a＋b＝1，∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5.故选C.3．已知f(x)＝x3＋x(x∈R)，a、b、c∈R，且a＋b>0，b＋c>0，c＋a>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的符号为()A．正B．负C．等于0D．无法确定[答案]A[解析] f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上是增函数．又a＋b>0，∴a>－b.∴f(a)>f(－b)．又f(x)＝x3＋x是奇函数，∴f(a)>－f(b)，即f(a)＋f(b)>0.同理：f(b)＋f(c)>0，f(c)＋f(a)>0，∴f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选A.4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)[答案]D[解析]特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.证明如下：当k＝1时，已验证结论成立，假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，∴21(2＋7n)－36能被9整除，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．1故命题对任何k∈N*都成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c[答案]A[解析]令n＝1，得1＝3(a－b)＋c，令n＝2，得1＋2×3＝9(2a－b)＋c，令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a－b)＋c.即，∴a＝，b＝c＝.故选A.6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199[答案]C[解析]法一：由a＋b＝1，a2＋b2＝3得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123，故选C.法二：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123，故选C.7．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52015的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125[答案]D[解析] 55＝3125,56＝15625,57＝78125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52015＝54×502＋7末四位数字为8125.8.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A.B．C．2D．[答案]B[解析]由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或－2.2故所求面积S＝－(x2＋2x)dx＝＝.9．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝8，则f(n)的表达式为()A．2nB．n2－n＋2C．2n－(n－1)(n－2)(n－3)D．n3－5n2＋10n－4[答案]B[解析]四个选项的前三项是相同的，但第四项f(4)＝14(如图)就只有B符合，从而否定A，C，D，选B，一般地，可用数学归纳法证明f(n)＝n2－n＋2.故选B.10．已知等比数列an＝，其前n项和为Sn＝k，则Sk＋1与Sk的递推关系不满足()A．Sk＋1＝Sk＋B．Sk＋1＝1＋SkC．Sk＋1＝Sk＋ak＋1D．Sk＋1＝3Sk－3＋ak＋ak＋1[答案]A[解析]Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＝Sk＋ak＋1.C真．Sk＋1＝1＋＋…＋＝1＋×＝1＋Sk.B真．3Sk＝3×＝3＋1＋＋…＋＝3＋－ak－ak＋1＝3＋Sk＋1－ak－ak＋1.D真．事实上，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝Sk＋.A不真．故选A.11．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B...
