高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

第一章1.4生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1．(2017·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A．8B．C．－1D．－8[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1．2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则高为(D)A．cmB．cmC．cmD．cm[解析]设圆锥的高为xcm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π．6．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边1长之比为34，那么容器容积最大时，高为(A)A．0．5mB．1mC．0．8mD．1．5m[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0．5m．二、填空题7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为25件．[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝．总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为11．[解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，∴L′＝＋2－．由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，x∈时，L′>0，∴当x＝时，L取最小值，此时＝＝－＝－＝1．三、解答题9．成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19．2万元；当x＝30万元时，y＝50．5万元．(参考数据：ln2≈0．7，ln3≈1．1，ln5≈1．6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由条件可得解得a＝－，b＝1，则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，则T′(x)＝＋－＝－，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－＋×50－ln＝24．4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24．4万元．10．如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？2[解...