重庆市永川中学高二数学第2周第4次小题单（函数与导数综合练习）1．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在()A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限2．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点3．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)
1}D．{x|x>1}4．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________．6．已知函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________．7．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．8．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．9．已知函数f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2alnx(a>0)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．答案1.[答案]A[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.2.[答案]D[解析]由f′(x)＝－＋＝(1－)＝0可得x＝2.当02时f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．3.[答案]B[解析]令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－10，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴极大值为f(－2)＝a＋4，极小值为f(0)＝a，又f(－3)＝a，f(3)＝54＋a，由条件知a＝3，∴最大值为f(3)＝54＋3＝57.6.[答案](－，－)1[解析]f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)，由f(x)的图象经过四个象限知，若a>0，则此时无解；若a<0，则∴－1时，此函数单调递减，当x0＝0时，m＝－3，当x0＝1时，m＝－2，∴当－30，当x∈(，2)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.9.[解析](1)∵a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋2lnx，∴f′(x)＝(x>0)，f(1)＝－3，f′(1)＝0，所以切线方程为y＝－3.(2)f′(x)＝＝(x>0)，令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝1，当00，在x∈(a,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a＝1时，f′(x)＝≥0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a>1时，在x∈(0,1)或x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，在x∈(1，a)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．(3)由(2)可知，f(x)在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f(1)＝1－2(a＋1)≤0且f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得a≥.2
