第一节平面向量的概念及其线性运算☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。2015，全国卷Ⅰ，7,5分(平面向量的线性运算)2015，全国卷Ⅱ，13,5分(平面向量的线性运算)2014，北京卷，10,5分(平面向量的线性运算)2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念)高考对本讲内容的考查以向量的线性运算为主；以向量的概念和线性运算知识为载体，与三角函数等知识综合考查的可能性较大，复习时应予以关注。试题多为客观题，难度不大，分值约为5分。微知识小题练自|主|排|查1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和运算三角形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a。(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。平行四边形法则减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。微点提醒1．三个常用的结论：(1)零向量与任何向量共线。(2)平行向量与起点无关。(3)若存在非零实数λ，使得AB＝λAC或AB＝λBC或AC＝λBC，则A，B，C三点共线。2．三个注意点：(1)向量共线与线段共线不同，前者可以不在同一直线上，而后者必须在同一直线上。同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上。(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。(3)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。小|题|快|练一、走进教材1．(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC，用AB与AC表示BC边上的中线向量AD，则AD＝________。【解析】AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC。【答案】AB＋AC2．(必修4P92A组T11改编)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形【解析】因为AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，所以AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以四边形ABCD为梯形。故选C。【答案】C二、双基查验1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量【解析】因为所有的零向量都是相等的向量，故选C。【答案】C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线【解析】若m∥0,0∥k，则k与m不一定共线，故选D。【答案】D3．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝8，则|a＋b|的最小值为()A．11B．2C．4D．5【解析】当a与b共线且反向时，|a＋b|的最小值为5。故选D。【答案】D4．已知a，b是非零向量，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边构成的四边形的形状为________。【解析】如图，在以a与b为邻边的四边形中，|a＋b|与|a－b|分别为四边形的两条对角线，故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，以a，b为邻边的四边形是矩形。【答案】矩形5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________。【解析】由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴解得【答案】－微考点大课堂考点一平面向量的有关概念【典例1】给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝...
