（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第16课导数的概念及运算(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-1P57例4改编)函数f(x)=-2x+10在区间[-3，-1]内的平均变化率为.【答案】-2【解析】ΔΔyx=(-1)-(-3)(-1)-(-3)ff=-2.2.(选修2-2P14练习2改编)若函数f(x)=3x，则f'(1)=.【答案】13【解析】因为f'(x)=2-313x，所以f'(1)=13×2-31=13.3.(选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是m/s.【答案】5【解析】s'(t)=2t-1，s'(3)=2×3-1=5.4.(选修2-2P20练习2改编)已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈(0，2π).若f'(x0)=0，则x0=.【答案】π5π44，【解析】f'(x)=cosx-sinx，因为f'(x0)=0，则f'(x0)=cosx0-sinx0=0，所以x0=π5π44，.15.(选修2-2P26习题8改编)已知函数f(x)=2(-2)1xx，则f(x)的导函数f'(x)=.【答案】222-8(1)xxx【解析】因为f(x)=2-441xxx，所以由导数运算法则得f'(x)=22(2-4)(1)-(-44)(1)xxxxx=222-8(1)xxx.1.函数的平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()-()-fxfxxx.2.导数的概念设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔΔyx=00(Δ)-()Δfxxfxx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0).若函数y=f(x)在开区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f'(x).3.导数的几何意义(1)设s=s(t)是位移函数，则s'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度.(2)设v=v(t)是速度函数，则v'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度.4.基本初等函数求导公式(1)(xα)'=α-1x(α为常数)；(2)(ax)'=axlna(a>0且a≠1)，(ex)'=ex；2(3)(logax)'=1lnxa(a>0且a≠1)，(lnx)'=1x；(4)(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx.5.导数的四则运算法则(1)()()fxgx'=f'(x)±g'(x)；(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)()cfx'=cf'(x)(c为常数)；(4)()()fxgx'=2'()()-()'()()fxgxfxgxgx(g(x)≠0).*6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ'(x)，函数y=f(u)在u处有导数y'u=f'(u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y'x=y'u·u'x.【要点导学】要点导学各个击破利用定义求导数例1利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)=1x在x=1处的导数；(2)求f(x)=12x的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f(x)在x处的导数是函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)与自变量的增量Δx之比在Δx→0时的无限趋近值.【解答】(1)因为ΔΔyx=(1Δ)-(1)Δfxfx3=1-11ΔΔxx=1-1ΔΔ1Δxxx=1-(1Δ)Δ1Δ(11Δ)xxxx=-11Δ1Δxx，所以当Δx→0时，ΔΔyx→-12.所以f'(1)=-12.(2)因为ΔΔyx=(Δ)-()Δfxxfxx=11-2Δ2Δxxxx=(2)-(2Δ)Δ(2)(2Δ)xxxxxxx=-1(2)(2Δ)xxx，所以当Δx→0时，ΔΔyx→-21(2)x，所以f'(x)=-21(2)x.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式设函数f(x)在x=x0处可导.(1)若当Δx无限趋近于0时，00(4Δ)-()Δfxxfxx无限趋近于1，求f'(x0)的值；(2)若当Δx无限趋近于0时，00(-4Δ)-()Δfxxfxx无限趋近于1，求f'(x0)的值.【解答】(1)00(4Δ)-()4Δfxxfxx=14·00(4Δ)-()Δfxxfxx，当Δx→0时，上式→14，故f'(x0)=14.4(2)00(-4Δ)-()-4Δfxxfxx=-14·00(-4Δ)-()Δfxxfxx，当Δx→0时，上式→-14，故f'(x0)=-14.求导公式的应用例2(1)函数f(x)=-cosx在x=π4时的导数值为；(2)函数y=x3-2x的导数为；(3)函数y=sinx-2ex的导数为.【思维引导】(1)注意到-cosx的导数是sinx，再将x=π4的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差，ex的导数仍然是ex.【答案】(1)22(2)y'=3x2-2(3)y'=cosx-2ex【解析】(1)f'(x)=sinx，当x=π4时，f'π4=22.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘...