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高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

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1.4生活中的优化问题举例一、选择题1.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A.RB.2RC.RD.R【答案】C【解析】设圆锥高为h,底面半径为r,则R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3V′=πRh-πh2.令V′=0得h=R.当00;当0;当10,y′=-x2+81=(9-x)(9+x),令y′=0,解得x=9,所以x∈(0,9)时,y′>0,x∈(9,+∞)时,y′<0,y先增后减.∴x=9时函数取最大值,选C,属导数法求最值问题.4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为()A.cmB.cmC.cmD.cm【答案】D【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为,其体积为V=πx(202-x2)(00;当0),y′=-x2,由y′=0,得x=25,当x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以x=25时,y取最大值.二、填空题7.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.【答案】【解析】|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.8.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于________.【答案】9【解析】函数的导数为f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤2=2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.三、解答题9、如图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,求此矩形的面积的最大值.【解析】设CD=x,则点C坐标为(,0),点B坐标为(,1-()2),∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·[1-()2]=-+x,x∈(0,2).2由f′(x)=-x2+1=0,得x1=-(舍去),x2=,∴x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)是递增的;x∈(,2)时,f′(x)<0,f(x)是递减的,∴当x=时,f(x)取最大值.∴此矩形的面积的最大值为.10、现有一批货物从海上由A地运往B地,已知货船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其...

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