1.2.1几个常用的函数的导数一、选择题1．若函数f(x)＝，则f′(1)等于()A．0B．－C．2D.【答案】D【解析】f′(x)＝()′＝，所以f′(1)＝＝，故应选D.2．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0【答案】A【解析】∵f(x)＝x2，∴f′(2)＝lim＝lim＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.3．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝()A．0B．3x2C．8D．12【答案】D【解析】f′(2)＝lim＝lim＝lim(6Δx＋12)＝12，故选D.4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3【答案】A【解析】若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵y＝x3＋x2－x－1∴＝＝4＋4Δx＋(Δx)2，∴y′|x＝1＝lim＝lim[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.故应选D.6．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)C．(1,1)D.【答案】C【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，∴x0＝1，∴y0＝x＝1，即P(1,1)，故应选C.二、填空题7．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为________．【答案】某物体做瞬时速度为1的匀速运动1【解析】由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．8．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【答案】21【解析】∵y′＝2x，∴过点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题9．质点的运动方程为s＝，求质点在第几秒的速度为－.【解析】∵s＝，∴Δs＝－＝＝∴lim＝＝－.∴－＝－，∴t＝4.即质点在第4秒的速度为－.10．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．【解析】两曲线方程联立得解得.∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．∴S＝×1×＝.2
