高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课堂探究 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.2.1双曲线及其标准方程课堂探究探究一双曲线的定义及应用若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．【典型例题1】已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．解：由－＝1，知a＝3，b＝4，所以c＝5.由双曲线定义及勾股定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝32.所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.探究二求双曲线的标准方程解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.【典型例题2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(4)过点P，Q且焦点在坐标轴上．思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．解：(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为焦点在x轴上，且c＝，所以设方程为－＝1.又因为过点(－5,2)，所以－＝1.解得a2＝5或a2＝30(舍去)．所以方程为－y2＝1.(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．所以所求双曲线方程为－＝1.(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．因为P，Q两点在双曲线上，所以解得1所以所求双曲线方程为－＝1.点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1有公共焦点的双曲线系方程－＝1后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．探究三易错辨析易错点忽略双曲线方程中含有的字母的符号【典型例题3】已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.由题意知焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝，所以c＝＝＝3，即＝9，所以k＝.错因分析：上述解法有两处错误：一是a2，b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a，b，c的关系式用错了，在双曲线中应为c2＝a2＋b2.正解：将双曲线方程化为kx2－y2＝1，即－＝1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝c2＝9，所以k＝－1.2