第22课同角三角函数间基本关系式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16例1改编)已知cosα=35，且α∈π-02，，那么tanα=.【答案】-43【解析】由cosα=35，α∈π-02，，得sinα=-45，所以tanα=-43.2.(必修4P18练习4改编)已知tanα=3，且α为第三象限角，那么sinα=.【答案】-31010【解析】由题意，构造方程组22sin3cossincos1，，解得sinα=±31010.因为α是第三象限角，所以sinα=-31010.3.(必修4P23习题11改编)若tanα=3，则sin-cossincos=.【答案】12【解析】sin-cossincos=tan-1tan1=24=12.4.(必修4P23习题20改编)若sinα+cosα=2，则sin3α+cos3α=.1【答案】22【解析】sinαcosα=12[(sinα+cosα)2-(sin2α+cos2α)]=12，则sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=2×11-2=22.5.(必修4P17例3改编)已知α是第一象限角，那么tanα·21-1sin=.【答案】1【解析】tanα·21-1sin=tanα·22cossin=sincos·cossin=1.同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：sin2α+cos2α=1.2.商数关系：tanα=sincos.【要点导学】要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值例1(1)已知sinx=35，求cosx与tanx的值.2(2)已知3sinα=-cosα，求2222sin3cossinsincos的值.【思维引导】(1)结合同角三角函数关系式直接求解，但是要注意分类讨论.(2)所求式是关于sinα与cosα的齐次式，若将分式的分子、分母同除以cos2α，则所求式用tanα表示，从而求值；也可以用tanα表示sinα，cosα，一般地，关于sinα，cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.【解答】(1)因为sinx=35，所以cosx=±21-sinx=±231-5=±45，当cosx=45时，tanx=34；当cosx=-45时，tanx=-34.(2)因为3sinα=-cosα，所以tanα=-13，原式=222tan3tantan=123911-93=-292.【精要点评】(1)已知sinα的值，利用平方关系求cosα的值时，如果α的范围没有确定，cosα的值有两种可能；(2)在求tanα的值时，要分类讨论；(3)在利用齐次式求值时，一定要凑齐次式.【高频考点·题组强化】1.若tanα=2，则2sin-cossin2cos=.【答案】34【解析】原式=2tan-1tan2=34.32.若sinx=2cosx，则sin2x+1=.【答案】95【解析】由已知得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x=22222sincossincosxxxx=222tan1tan1xx=95.3.若cosα+2sinα=-5，则tanα=.【答案】2【解析】由22cos2sin-5sincos1，①，②将①变形代入②得(5sinα+2)2=0，所以sinα=-255，cosα=-55，所以tanα=2.4.已知tanx=2.(1)求sin-cossincosxxxx的值；(2)求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值.【解答】(1)sin-cossincosxxxx=tan-1tan1xx=2-121=13.(2)2sin2x-sinxcosx+cos2x=22222sin-sincoscossincosxxxxxx=222tan-tan1tan1xxx=75.利用同角三角函数关系化简、证明例2求证：cos1-sinxx=1sincosxx.【解答】方法一：由cosx≠0，知sinx≠-1，所以1+sinx≠0.4于是，左边=cos(1sin)(1-sin)(1sin)xxxx=2cos(1sin)1-sinxxx=2cos(1sin)cosxxx=1sincosxx=右边，所以原式成立.方法二：因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx，且1-sinx≠0，cosx≠0，所以cos1-sinxx=1sincosxx.方法三：因为cos1-sinxx-1sincosxx=2cos-(1sin)(1-sin)(1-sin)cosxxxxx=22cos-cos(1-sin)cosxxxx=0，所以原式成立.方法四：因为cosx≠0，左边=cos1-sinxx=2cos(1-sin)cosxxx=21-sin(1-sin)cosxxx=1sincosxx=右边.所以原式成立.变式化简：1sincos2sincos1sincos.【解答】原式=22sincos2sin·cossincos1sincos=2(sincos)(sincos)1sincos=(sincos)(1sincos)1sincos=sinα+cosα.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题例3已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=-15，求tanθ的值.【思维引导】利用sinθ+cosθ的值可以求得sinθcosθ的值，进而可以知道tanθ的值，注意到0...
