3.2.1复数的加法与减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1B．2C．－2D．－1【解析】z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，∴∴x＝y＝1.∴xy＝1.【答案】A2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．【答案】D3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i【解析】在平行四边形ABCD中，CD＝BA＝OA－OB＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.【答案】D4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】复数z1对应向量OA，复数z2对应向量OB.则|z1＋z2|＝|OA＋OB|，|z1－z2|＝|OA－OB|，依题意有|OA＋OB|＝|OA－OB|.∴以OA，OB为邻边所作的平行四边形是矩形．∴△AOB是直角三角形．【答案】B5．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝()A．0B．6iC．6D．6－6i【解析】∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.【答案】D二、填空题6．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个.【导学号：05410070】1【解析】依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，而|4－3i|＝＝5，所以＝5，即b＝0.【答案】17．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.【解析】z＝z1－z2＝－＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，∴解得∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.【答案】5－9i－8－7i8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．【解析】如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1.【答案】2＋1三、解答题9．如图321所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：图321(1)向量AO对应的复数；(2)向量CA对应的复数；(3)向量OB对应的复数．【解】(1)因为AO＝－OA，所以向量AO对应的复数为－3－2i.(2)因为CA＝OA－OC，所以向量CA对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB＝OA＋OC，所以向量OB对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.【解】∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，∴解得∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.2[能力提升]1．如图322，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么()图322A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解析】由题图可知，PQ＋QP＝0，∴PQ＋OP－OQ＝0，∴z1＋z2－z3＝0.【答案】D2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()【导学号：05410071】A．2B．4C．4D．16【解析】由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.【答案】C3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝__________.【解析】∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|＝3＋＝3＋3.【答案】3＋34．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．【解】因为BA＝CD，所以zA－zB＝zD－zC，所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.即点D对应的复数为1－7i，如图①.用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.图②中点D对应的复数为3＋7i，图③中点D对应的复数为－11＋3i.故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.34
