第三章3.2第3课时请同学们认真完成练案[25]A级基础巩固一、选择题1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)、(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(D)A．B．－C．D．以上都不对[解析] ＝，∴这个二面角的余弦值为或－.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(B)A．－B．C．－D．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)、B(2,2,0)、B1(2,2,2)、E(0,2,1)．∴BD＝(－2，－2,0)、BB1＝(0,0,2)、BE＝(－2,0,1)．设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． n⊥BD，n⊥BB1，∴，∴.令y＝1，则n＝(－1,1,0)．∴cos〈n，BE〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BE〉|＝.3.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(C)A．B．C．D．[解析]如图，连接A1B，则A1B∥D1C，∴∠A1BE为异面直线BE与CD1所成的角．在△A1BE中，由余弦定理得cos∠A1BE＝，故选C．4．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(C)1A．B．C．D．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题意得A(1，－1,0)、C(－1,1,0)、B(1,1,0)、S(0,0，)．∴CA＝(2，－2,0)，BS＝(－1，－1，)，CS＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则，∴，令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AC〉|＝＝.5．(山东潍坊2018－2019学年高二期末)已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(A)A．B．1C．D．2[解析] A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，AB＝(1,0,0)，BC＝(－1,2，－2)，∴点A到直线BC的距离为：d＝|AB|＝1×＝.故选A．6．(福建泉州市普通高中2017－2018学年质量检测)正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(A)A．B．C．D．[解析]以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设DA＝2，易得EF＝(1,0，－1)，设CM＝λCA1＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，BM＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cosθ＝|cos|，即cosθ＝＝＝(0≤λ≤1)，当λ＝时，cosθ取到最大值，当λ＝1时，cosθ取到最小值，所以θ的取值范围为，故选A．二、填空题7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为____.2[解析]解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝＝＝.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BM＝AB＝，∴A，B，D，∴AD＝，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AD，e〉|＝＝.解法三：设BA＝b，BC＝a，BD＝c，由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，又AD＝BD－BA＝c－b，平面AA1C1C的法向量BM＝(a＋b)．设直线AD与平面AA1C1C成角为θ，则sinθ＝|cos〈AD，BM〉|＝， AD·BM＝(c－b)·(a＋b)＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－.|AD|2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，∴|AD|＝，|BM|2＝(a＋b)2＝(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝，∴|BM|＝，∴sinθ＝.8．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为__60°__.3[解析]设〈AC，BD〉＝θ， CA⊥AB，AB⊥BD，∴AC·AB＝BD·AB＝0，〈CA，BD〉＝180°－θ，∴|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2|CA||BD|cos(180°－θ)．∴(2)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cosθ)，∴cosθ＝，∴θ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.三、解答题9．(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为4的正三角形，A1B1＝AA1＝CC1＝2，BB1＝3，E是棱A1C1的中点，点F...
