专题02导数与零点个数导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。【题型示例】1、设为实数,函数．(1)求的极值点；(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．【答案】（1）的极大值点为,极小值点为．（2）或．2、已知函数.（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.【解析】（1）的定义域为,,令得，当时，，是增函数；当时，，是减函数，所以在处取得极大值,无极小值.（2）①当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，所以，因为的图象与的图象在上有公共点,所以，解得，又，所以.②当时，即时，在上是增函数，所以在上最大值为，所以原问题等价于,解得.又，所以此时无解.综上,实数的取值范围是.3、设函数（其中）．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若，判断函数零点个数．【答案】（1）极小值，不存在极大值；（2）（3）1个．【解析】（Ⅰ），由得，由得，在单调递增，在单调递减．极小值，不存在极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．当时，在单调递减，单调递增，∴．当时，在单调递增，；（Ⅲ）由题意求导得，由得或，由得所以在上单调递增，在上单调递减当时，，故函数只有一个零点．4、已知函数.（I）若，求的极值；（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（I）的极小值为；（II）或.【解析】（I）时，，其中则得当时，单调递减，当时，单调递增，因而的极小值为；（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，分离参数得，设，则，又设，，而因而当时，当时，那么当时，单调递增，当时，单调递减，，又时，且时从而或，即或时函数有且只有一个零点.【题型专练】1、已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）有得极大值，无极小值；（2）.2、设函数,.关于的方程在区间上有解,求的取值范围;【答案】的取值范围.【解析】方程即为,令,则,∴当时,,随变化情况如表:,,,∴当时,,∴的取值范围.3、已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调减区间为，增区间；（2）；（3）.【解析】∵,所以(1)∵,令,得：，所以的单调减区间为，增区间；（2）由（1）知,得，函数在上是连续的，又所以，当时，的最大值为故时，若使恒成立，则（3）原问题可转化为：方程在区间上恰有两个相异实根.令，则，令，解得：.当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增.在和处连续，又且当时，的最大值是，的最小值是∴在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：4、设函数,其中为实数.（1）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围；（2）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.【答案】（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．（2）在上恒成立,则,故.①若,令得增区间为；令得减区间为,当时,；当时,；当时,,当且仅当时取等号.故:时,有个零点；当时,有个零点.5、已知函数在处的切线斜率为2.(1)求的单调区间和极值;(2)若在上无解,求的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.函数的极小值为，极大值为.（2）【解析】(1)∵，∴，∴，令，解得或..当变化时，的变化情况如下表:∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.∴函数的极小值为，极大值为.(2)令，∵在上无解,∴在上恒成立,∵，记，∵在上恒成立,∴在上单调递减,∴，若，则，∴，∴单调递减,∴恒成立,若，则，存在，使得，∴当时，，即，∴在上单调递增,∵，∴在上成立,与已知矛盾,故舍去,综上可知，.
