高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2-2.2.1 椭圆及其标准方程练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.2.1椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．若F1，F2是两个定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案：D2．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O是坐标原点)的值是()A．4B．2C．8D.答案：A3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：由题意，知a＝.由椭圆的定义，得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2.所以(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BC|＋|BA|＋|CA|＝4，即△ABC的周长为4.答案：C4．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.＋＝1B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)答案：D5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a＞3B．a＞3或a＜－2C．a＜－2D．a＞3或－6＜a＜－2解析：由于椭圆焦点在x轴上，所以即⇔a＞3或－6＜a＜－2.答案：D二、填空题6．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．解析：由椭圆定义及标准方程知|PF1|＋|PF2|＝14.且|PF1|2＋|PF2|2＝100，联立可得|PF1|·|PF2|＝48.答案：487．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_____________________．解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1，1所以椭圆标准方程为＋x2＝1.答案：＋x2＝18．已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．解析：由已知2c＝6，得c＝3.所以20－k＝9或k－20＝9，所以k＝11或k＝29.答案：11或29三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10．一个动圆与已知圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图所示，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.B级能力提升1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5B．4C．3D．1答案：B2．a∈，若方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0.2又因为α∈，所以sinα＞cosα＞0，所以＜α＜.答案：3．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．因为F1A⊥F2A，则F1A·F2A＝0.又F1A＝(－4＋c，3)，F2A＝(－4－c，3)，所以(－4＋c)(－4－c)＋32＝0，所以c2＝25，即c＝5.所以F1(－5，0)，F2(5，0)，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.3