第2章推理与证明章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC中，E、F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为________．答案三角形的中位线平行于第三边解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝________.答案11解析 m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36，∴m＝6. 23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， n3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.3．用反证法证明命题“＋是无理数”时，其反证假设是________．答案＋是有理数解析应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．4．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为________．答案解析当x＝1时，f(2)＝＝＝，当x＝2时，f(3)＝＝＝；当x＝3时，f(4)＝＝＝，故可猜想f(x)＝.5．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为________．答案1解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相1等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．6．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个．①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．答案2解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．7．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2015等于________．答案－1解析 a1＝，an＋1＝1－，∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)∴a2015＝a2＋3×671＝a2＝－1.8．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.答案512解析由a1，a2，a3，a4的形式可归纳： 1＋2＋3＋4＋…＋7＝＝28，∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝＝512.9．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________，猜想Sn＝________.答案，，(n∈N*)解析由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，因为S1＝a1＝1，所以2Sn＋1＝Sn＋2.令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3⇒S2＝，同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.由S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是________．答案4n＋2解观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2.11．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5按此规律，第n个等式可为________．答案(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)212．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．答案f(2n)>(n≥2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)不等式右侧分别为，k＝1,2，…，∴f(2n)>(n≥2)．13．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.答案635解析由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减1，由此推测...
