专题21坐标系与参数方程【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此【变式探究】[2015·全国卷]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C：(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l与C相交于A，B两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(2)设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，则直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的普通方程为y＝x2－6.(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将代入y＝x2－6，得t2－2t－24＝0，∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2，∴＝，即点M所对应的参数为，∴点M的直角坐标为(，)，∴点M的极坐标为(，)．【命题热点突破二】简单曲线的参数方程例2、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】（I）圆,（II）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【变式探究】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆(θ为参数)相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．【特别提醒】直线的参数方程(其中t为参数，α为直线的倾斜角)中t的几何意义是点P(x0，y0)到参数t对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中t的系数是否符合上述参数方程．【变式探究】已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．解：(1)C：(θ为参数)，l：x－y＋9＝0.(2)设P(2cosθ，sinθ)，则|AP|＝＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝＝.由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.故P(－，)．【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合例3、【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【变式探究】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(4，)，曲线C的极坐标方程为ρ2＋4ρsinθ＝4.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；(2)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最大值．解：(1)x＝ρcosθ＝6，y＝ρsinθ＝2，∴点P的直角坐标为(6，2)．由ρ2＋4ρsinθ＝4得x2＋y2＋4y＝4，即x2＋(y＋2)2＝16，∴曲线C的普通方程为x2＋(y＋2)2＝16.【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题．【变式探究】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知圆C的参数方程是(φ为参数)，直线l的极坐标方程是2ρcosθ＋ρsinθ...
