第4课时双曲线及其标准方程基础达标(水平一)1.已知双曲线-=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为().A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】设点F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.【解析】D2.已知双曲线-=1上一点P到点F(3,0)的距离为6,O为坐标原点,=(+),则||=().A.1B.5C.2或5D.1或5【解析】设双曲线的另一个焦点为F1,则由双曲线的定义知||PF1|-|PF||=4,所以|PF1|=2或10.因为=(+),所以Q为PF的中点.又因为O为F1F的中点,所以||=||=1或5,故选D.【答案】D3.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于().A.4B.8C.24D.48【解析】由3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6.又∵c2=a2+b2=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,∴△PF1F2为直角三角形,∴=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.【答案】C4.设P是双曲线-=1右支上的一点,M和N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|—|PN|的最大值为().A.6B.7C.8D.9【解析】设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6,由数形结合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9.【答案】D5.已知点P(2,-3)是双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是.1【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是-=1,把点P(2,-3)代入,得-=1,解得a2=1或a2=16(舍去).所以该双曲线方程为x2-=1.【答案】x2-=16.已知双曲线C的中心为坐标原点,点F(2,0)是双曲线C的一个焦点,过点F作渐近线的垂线l,垂足为M,直线l交y轴于点E,若|FM|=3|ME|,则双曲线C的方程为.【解析】设双曲线C的方程为-=1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=,所以=,因为a2=4-b2,所以b2=3,a2=1,所以双曲线C的方程为x2-=1.【答案】x2-=17.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sinB-sinC=sinA,求顶点A的轨迹方程.【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|=×10=6.又|AC|>|AB|,6<|BC|,则点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的左支(除去左顶点).由2a=6,2c=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16,故顶点A的轨迹方程为-=1(x<-3).拓展提升(水平二)8.椭圆+=1与双曲线y2-=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为().A.48B.24C.24D.122【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得解得或又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=×6×8=24.【答案】B9.已知方程+=1表示的曲线为C.给出以下四个判断:①当14或t<1时,曲线C表示双曲线;③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则14.其中判断正确的是.(只填正确命题的序号)【解析】①错误,当t=时,曲线C表示圆;②正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴14.【答案】②③④10.已知双曲线-=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|=.【解析】设F'是双曲线的右焦点,连接PF'(图略).因为M,O分别是FP,FF'的中点,所以|MO|=|PF'|,所以|FN|==5.由双曲线的定义知|PF|-|PF'|=8,所以|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-|PF'|=(|PF|-|PF'|)-|FN|=×8-5=-1.【答案】-111.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线如何变化?【解析】当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.3当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆;②当α=45°时,它表示圆x2+y2=;③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.4
