高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式（第2课时）自我小测 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.1不等式2自我小测1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是()A．3B．1＋2C．6D．72．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则＋的最小值是()A．2B．C．1＋D．3＋23．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D．4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．85．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．9．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)1参考答案1．解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y时，等号成立，取得最小值7.答案：D2．解析：＋＝＝≥·＝1＋，当且仅当＝时，等号成立，＋取得最小值1＋.答案：C3．解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b，即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，＋取得最小值4.答案：B4．解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当＝时，等号成立．∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴需(＋1)2≥9.∴a≥4，故选B.答案：B5．解析：设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A6．解析：a≥＝.而x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立．∴的最大值为，∴a≥.答案：7．解析：函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，则×(2m＋n)＝＋＝2＋＋4·＋2≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．答案：88．解析：令＝t(t＞0)，则由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.解得t≥3或t≤－1(不合题意)．∴≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．答案：[9，＋∞)9．答案：解：x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时取等号．故(x＋y)min＝(＋)2＝18，即a＋b＋2＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得或10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与2ab成反比，又设比例系数为k，则y＝.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝最小．解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)．又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)．∴y＝＝.令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.从而＝＝＝34－，∴y＝≥＝.当且仅当t＝，即a＋2＝时取等号，∴a＝6.由a＝6可得b＝3.综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．依题设2×2b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．∵a＋2b≥2(当且仅当a＝2b时取等号)，∴ab＋2≤30，可解得0＜ab≤18.由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．3