模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1方程ρ=2sinθ表示的图形是()A.圆B.直线C.椭圆D.射线解析:ρ=2sinθ可化为x2+y2-2y=0,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.答案:A2将正弦曲线y=sinx作如下变换:{X=2x,Y=3y,得到的曲线方程为()A.Y=3sin12XB.Y=13sin2XC.Y¿12sin2XD.Y=3sin2X答案:A3设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-2√2B.−53√3C.-3D.−72解析:不妨设{a=√6cosα,b=√3sinα,则a+b¿√6cosα+√3sinα=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tanφ¿√2,故a+b的最小值为-3.答案:C4设点M的柱坐标为(2,π6,7),则点M的直角坐标是()A.(1,√3,7¿B.(√3,1,7)C.(1,7,√3¿D.(√3,7,1)解析:x=2cosπ6=√3,y=2sinπ6=1,z=7.答案:B15如图所示,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,π2,5),则此长方体外接球的体积为()A.77√77π3B.77√77π6C.77√77π4D.77√77π12答案:B6将点P的直角坐标(3+√3,3−√3¿化为极坐标是()A.(2√6,π12)B.(√6,π12)C.(2√6,5π12)D.(√6,5π12)解析: x=3+√3,y=3−√3,∴ρ¿√x2+y2=√(3+√3)2+(3-√3)2=2√6,tanθ¿yx=3-√33+√3=1-√331+√33=tan(π4-π6)=tanπ12,又P在第一象限,∴θ¿π12.答案:A7已知曲线C与曲线ρ=5√3cosθ−5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程为()A.ρ=-10cos(θ-π6)B.ρ=10cos(θ-π6)C.ρ=-10cos(θ+π6)D.ρ=10cos(θ+π6)解析:曲线ρ的直角坐标方程为x2+y2=5√3x−5y,则与曲线ρ关于极轴对称的曲线C的直角坐标方程为x2+y2=5√3x+5y.所以极坐标方程为ρ2=5√3ρcosθ+5ρsinθ,2即ρ=5√3cosθ+5sinθ=10cos(θ-π6).答案:B8已知曲线的参数方程为{x=1-1t,y=1-t2¿≠0),则它的普通方程是()A.(x-1)2(y-1)=1B.y¿x(x-2)(1-x)2C.y¿1(1-x)2−1D.y=x1-x2+1解析: x=1−1t,∴t¿11-x,y=1−t2=1−1(1-x)2=x(x-2)(1-x)2.答案:B9曲线{x=t2-1,y=2t+1的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)解析:将参数方程化为普通方程为(y-1)2=4(x+1),该曲线为抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).答案:A10已知过曲线{x=3cost,y=4sint¿≤t≤π)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角为π4,则点P的极坐标为()A.(3,π4)B.(3√22,π4)C.(-125,π4)D.(12√25,π4)解析:将曲线化成普通方程为x29+y216=1¿≥0),与直线PO:y=x联立可得P点坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的转化公式可得P点的极坐标为(12√25,π4).答案:D11过点P(4,3),且斜率为23的直线的参数方程为()3A.{x=4+3√13ty=3+2√13tB.{x=3+3√13ty=4+2√13tC.{x=4+2√13ty=3+3√13tD.{x=3+2√13ty=4+3√13t解析: 倾斜角α满足tanα¿23,∴sinα¿2√13,cosα=3√13,∴所求参数方程为{x=4+3√13t,y=3+2√13t.答案:A12双曲线{x=4tant,y=2cost的渐近线方程为()A.y=±12xB.y=±xC.y=±2xD.y=±3x解析:把参数方程化为普通方程,得y24−x216=1,故渐近线方程为y=±12x.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在极坐标系(ρ>0,0≤θ<π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为.解析:由ρ=2sinθ,ρcosθ=-1,得2sinθcosθ=-1,即sin2θ=-1,2θ¿3π2,θ=3π4,ρ=√2,所以交点的极坐标为(√2,3π4).答案:(√2,3π4)14在极坐标系中,点P(2,-π6)到直线l:ρsin(θ-π6)=1的距离是.4解析:点P(2,-π6)的直角坐标为(√3,−1),将直线l:ρsin(θ-π6)=1化为直角坐标方程为√32y−x2=1,即x−√3y+2=0.故d¿|√3+√3+2|2=√3+1.答案:√3+115直线{x=x0+t,y=y0-√3t上任一点P到P0(x0,y0)的距离为.解析:设P(x0+t,y0−√3t¿,则|PP0|2=t2+(−√3t¿2=4t2,故|PP0|=2|t|.答案:2|t|16直线{x=1+12t,y=-3√3+√32t与圆x2+y2=16交于A,B两点,则AB的中点坐标为.解析:把x=1+12t,y=−3√3+√32t代入x2+y2=16中,得t2-8t+12=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8.故AB的中点对应的参数为t0¿12(t1+t2)=12×8=4,将t0=4代入直线参数方程,可求得AB的中点的坐标为(3,−√3¿.答案:(3,−√3¿三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说...
