直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·芜湖模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=()A.4B.8C.4或8D.以上都不对【解析】选C.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.(2016·秦皇岛模拟)已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴.若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.Rt△PFA中,|PF|2+|FA|2=|PA|2,|FA|=a+c,|PF|=,又|PF|=|AF|,即=(a+c),即=(a+c),得4c2+ac-3a2=0,所以=.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为.【解析】如图,因为四边形PAOB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以△OAP是等腰直角三角形,故a=b.所以e==.答案:8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是.【解析】因为·=0,所以⊥.所以||2=||2-||2=||2-1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,所以||min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0.所以若Q恰在以MN为直径的圆上,则·=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,Δ=96-8m2>0,所以-2b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0,又c≠0,故有x0+y0+c=0①.又因为点P在椭圆上,故+=1②.由①和②可得3+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故...
