高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.4.2抛物线的简单几何性质基础练习1．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是()A．(1,2)B．(2,1)C．(2,3)D．(3,2)【答案】D【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3.∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d＝3＋＝4.解得p＝2.3．(2019年黑龙江哈尔滨九中模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|等于()A．B．3C．D．2【答案】B【解析】设点Q到l的距离为d，则|QF|＝d. FP＝4FQ，∴|PQ|＝3d.不妨设直线PF的斜率为－＝－2. F(2,0)，∴直线PF的方程为y＝－2(x－2)，与y2＝8x联立，得x＝1.∴|QF|＝d＝1＋2＝3.故选B．4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|.∴点B(1，2)．∴k＝＝.故选D．5．(2019年山西临汾期末)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是__________________．【答案】x2＝2y【解析】由题意得F，不妨设A，B，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.6．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过点A，B的抛物线方程是___________________．【答案】y2＝±x【解析】该等边三角形的高为，点A的坐标为或.可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)．点A在1抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.7．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.由题意，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.(方法一)由x2－6x＋1＝0，得x1＋x2＝6，x1·x2＝1，∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AA1|＝x1＋1，|BF|＝|BB1|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝8－p.又|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，即(x1＋x2－12)(x1－x2)＝2p(x2－x1)． x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p.∴12－2p＝8－p.解得p＝4.∴所求抛物线C的方程为y2＝8x.能力提升9．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有两条C．有无穷多条D．不存在【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，∴这样的直线有两条．故选B．10．(2019年浙江杭州模拟)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则FA·FB＋FC·FD的最大值等于()A．4B．－4C．－8D．－16【答案】D【解析】依题意得FA·FB＝－(|FA|·|FB|)．又因为|FA|＝yA＋1，|FB|＝yB＋1，所以FA·FB＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.所以FA·FB＝－(4k2＋4)．同理FC·FD＝－.所以FA·FB＋FC·FD＝－≤－16.当且仅当k＝±1时等号成立．211．如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0...