1.2.1绝对值不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:∵ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.答案:C2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4解析:|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数的最小值为4.答案:D3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m
2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定解析:当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.答案:B5.若关于x的不等式|x|+|x-1|0,即|a|>|b|.答案:|a|>|b|9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:<2.证明∵m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号35664004已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.解(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,2由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a|x-y|=|(-y)+x|≥|-y|-|x|=|y|-|x|,∴|y|<|x|+a.答案:|y|<|x|+a4.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.解析:=4.答案:45.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).证明∵|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号35664005已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.证明(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增加的,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c4≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减少的,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.5
